Actividad 11 · Cadenas de Markov

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

EJERCICIO 2: CADENAS DE MARKOV Introducción de un Nuevo Destino Turístico: Isla Anapia

CURSO: Programación Numérica
DOCENTE: Ing. Fred Torres Cruz
PRESENTADO POR: Nayelin Brisbany Cutipa Ramos
Puno, Perú
2025

Ejercicio 2: Introducción de Isla Anapia

En este ejercicio se modela la incorporación de un quinto destino turístico, Isla Anapia (IAp), al sistema existente. Anapia ofrece turismo vivencial y compite principalmente con Amantaní, manteniendo conexiones con Puno Ciudad.

a) Expansión de la matriz de transición

El sistema pasa de tener 4 estados a 5 estados. Los destinos considerados son:

1. Puno Ciudad (PC)
2. Islas Uros (IU)
3. Taquile (IT)
4. Amantaní (IA)
5. Anapia (IAP)

La nueva matriz de transición incorpora una quinta fila y una quinta columna para representar las transiciones hacia y desde el nuevo destino.

b) Propuesta de probabilidades de transición

Se han definido probabilidades realistas considerando que Anapia capta parte del flujo de Amantaní y mantiene una fuerte conexión de retorno a Puno.

Matriz de Transición Definida ():

import numpy as np

# Matriz de transicion con 5 destinos
T_5 = np.array([
    [0.25, 0.40, 0.18, 0.12, 0.05], # Desde Puno
    [0.45, 0.15, 0.25, 0.10, 0.05], # Desde Uros
    [0.35, 0.10, 0.30, 0.15, 0.10], # Desde Taquile
    [0.45, 0.10, 0.10, 0.20, 0.15], # Desde Amantani
    [0.50, 0.05, 0.05, 0.25, 0.15]  # Desde Anapia
])

Listing 1: Definición de la matriz 5x5 en Python

c) Cálculo de la distribución estacionaria

Se calculan los eigenvalues y eigenvectors de la matriz transpuesta para encontrar el estado de equilibrio.

from scipy import linalg

# Calculo de eigenvalues y eigenvectors
eigenvalues_5, eigenvectors_5 = linalg.eig(T_5.T)

# Identificar eigenvalue dominante (lambda = 1)
idx_dom_5 = np.argmax(np.abs(eigenvalues_5))
v_dom_5 = eigenvectors_5[:, idx_dom_5].real

# Normalizacion
dist_estacionaria_5 = v_dom_5 / v_dom_5.sum()

Listing 2: Cálculo de Eigenvalues y Normalización

Resultado obtenido (): La nueva distribución de equilibrio es:

d) Análisis de participación de Anapia

Según el modelo, en el estado estacionario: Anapia recibiría aproximadamente el 9.5% de los turistas. Este resultado es significativo para un destino nuevo, demostrando que logra posicionarse en el mercado compitiendo directamente con Amantaní y aprovechando la conectividad con Puno.

e) Impacto en los otros destinos

Comparando la dinámica del sistema con la introducción de Anapia, se observa:

Cuadro 1: Análisis de Ganadores y Perdedores

f) Visualización de la red de flujo turístico

Se genera una representación gráfica donde el tamaño de los nodos corresponde a la distribución estacionaria y el grosor de las aristas a las probabilidades de transición.

import matplotlib.pyplot as plt

# Configuracion de nodos y posiciones
pos_5 = {
    0: (0.5, 0.75),  # Puno
    1: (0.15, 0.45), # Uros
    2: (0.85, 0.45), # Taquile
    3: (0.35, 0.15), # Amantani
    4: (0.65, 0.15)  # Anapia
}

# (El codigo continua con la generacion del grafo usando Matplotlib...)

Listing 3: Código para visualización de la red

Interpretación de la Red: La visualización confirma que Puno Ciudad sigue siendo el nodo central y más grande. Anapia aparece como un nodo emergente, fuertemente conectado con Amantaní y Puno, lo que valida la hipótesis de rutas combinadas y competencia local.

Preguntas de Reflexión (Ejercicio 2)

1. ¿Es viable el desarrollo turístico de Anapia según tu modelo?

Sí, es viable. El modelo predice que Anapia captará un 9.5% del turismo total en equilibrio. Para un destino emergente, esta cifra representa una demanda suficiente para sostener servicios locales e infraestructura básica sin desestabilizar el sistema general.

2. ¿Qué estrategia de marketing recomendarías para Anapia?

Se recomienda una estrategia de complementariedad y diferenciación:

• Paquetes Combinados: Fomentar rutas "Puno - Anapia - Taquile - Amantaní - Anapia" para aprovechar el flujo existente.
• Turismo de Nicho: Posicionarse como una experiencia "más auténtica y menos masiva" que Amantaní.
• Alianzas con Puno: Dado que Puno es el hub, la venta debe originarse allí.

3. ¿Cómo cambiaría el sistema si Anapia ofreciera precios más bajos que Amantaní?

Si Anapia reduce precios agresivamente, aumentarían las probabilidades de transición desde Puno y Amantaní hacia Anapia. Esto elevaría su cuota de mercado (posiblemente superando el 12-15%), pero causaría una caída drástica en los ingresos de Amantaní y podría generar problemas de sostenibilidad (sobrecarga) en la propia Anapia al ser una isla pequeña.

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EJERCICIO 3: ANÁLISIS DE TEMPORADAS Modelado Estacional del Turismo en el Lago Titicaca

CURSO: Programación Numérica
DOCENTE: Ing. Fred Torres Cruz
PRESENTADO POR: Nayelin Brisbany Cutipa Ramos
Puno, Perú
2025

Ejercicio 3: Análisis de Temporadas Turísticas

En este ejercicio se modela el comportamiento del flujo turístico considerando la estacionalidad (temporada alta vs. temporada baja), afectando las probabilidades de transición entre Puno Ciudad, Islas Uros, Taquile y Amantaní.

a) Creación de las matrices de transición

Se definen dos matrices distintas para capturar la dinámica estacional:

Temporada Alta \((T_{alta})\): Mayor movilidad hacia islas lejanas.

Temporada Baja \((T_{baja})\): Mayor permanencia en Puno y excursiones cortas.

$$T_{alta}=\begin{pmatrix}0.15&0.40&0.25&0.20\\ 0.45&0.10&0.30&0.15\\ 0.35&0,10&0,30&0,25\\ 0,45&0,10&0,20&0,25\end{pmatrix}$$

$$T_{baja}=\begin{pmatrix}0.45&0.35&0.10&0.10\\ 0.60&0.20&0.15&0.05\\ 0.55&0.15&0.20&0.10\\ 0.60&0,15&0,10&0,15\end{pmatrix}$$

b) Cálculo de la distribución estacionaria por temporada

Calculando el eigenvector dominante para cada matriz, obtenemos los equilibrios teóricos:

Temporada Alta \((\pi_{alta})\): \([0,239, 0,221, 0,278, 0,262]\)

Taquile y Amantaní concentran más del 50% del turismo.

Temporada Baja \((\pi_{baja})\): \([0,416, 0,234, 0,190, 0,160]\)

Puno Ciudad domina claramente con un 41.6%.

c) Comparación de distribuciones

¿Qué destino se beneficia más en temporada alta? Comparando los porcentajes de participación:

Cuadro (Tabla generada a partir de 7)

Conclusión: El destino que más se beneficia en términos de captación absoluta y estratégica en temporada alta es Taquile, alcanzando el pico más alto de ocupación (27.8%) de todo el sistema.

d) Simulación de un año completo

Se realiza una simulación de 360 días con la siguiente estructura:

• Días 0-120 (Meses 1-4): Temporada Alta \((T_{alta})\).
• Días 121-240 (Meses 5-8): Temporada Baja \((T_{baja})\).
• Días 241-360 (Meses 9-12): Temporada Media \((T_{original})\).

Se inicia con 1000 turistas distribuidos según el equilibrio de temporada alta.

e) Evolución anual de la distribución de turistas

A continuación, se presenta el código utilizado para la simulación y la gráfica resultante.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Configuracion inicial
dias = 360
evolucion = np.zeros((dias + 1, 4))
evolucion[0] = [239, 221, 278, 262] # Inicio: Equilibrio Alta

# Matrices T_alta, T_baja y T_media definidas previamente...
# Bucle de simulacion
for t in range(dias):
    if t < 120:
        T = T_alta
    elif t < 240:
        T = T_baja
    else:
        T = T_media
    evolucion[t+1] = T.T @ evolucion[t]

# Generacion de la grafica
plt.plot(evolucion)
plt.legend(["Puno", "Uros", "Taquile", "Amantani"])
plt.show()

Listing 1: Código Python para la simulación anual y gráfica

(Gráfica: Evolución de Turistas - Lago Titicaca)

Interpretación: La gráfica muestra cómo el flujo turístico se adapta suavemente a los cambios de temporada. Se observa una clara concentración en las islas durante el primer tercio del año, seguida de una recuperación de Puno Ciudad en el segundo tercio, finalizando con una estabilización general.

f) Promedio anual de turistas por destino

Calculando el promedio sobre los 360 días simulados:

Cuadro (Tabla generada a partir de 14)

Preguntas de Reflexión

1. ¿Qué destino tiene la mayor variación entre temporadas?

Puno Ciudad. Experimenta una variación de casi 18 puntos porcentuales (del 41.6% en baja al 23.9% en alta). Esto se debe a su rol dual: es un destino de paso obligado en temporada alta, pero un destino refugio en temporada baja.

2. ¿Cómo deberían planificar los hoteles su personal?

Deben adoptar un modelo de personal flexible. En temporada alta, se requiere máximo personal operativo en las islas (Taquile/Amantaní) y servicios de transporte. En temporada baja, el personal debe concentrarse en Puno Ciudad, aprovechando para realizar mantenimiento y capacitación en las instalaciones de las islas.

3. ¿Qué estrategias podrían usarse para equilibrar el turismo?

• Promociones "off-season": Descuentos agresivos en temporada baja para atraer turismo local.
• Eventos en Puno: Festivales culturales en la ciudad para compensar la menor visita a islas.
• Paquetes cortos: Tours de medio día a Uros que no dependan tanto del clima.

4. Si tuvieras un hotel en Puno, ¿qué capacidad mantener?

Basado en los promedios anuales:

• Temporada Alta: Mantener operativa el 85-100% de la capacidad.
• Temporada Baja: Reducir la operatividad al 60-70% para optimizar costos fijos, ya que la demanda se concentra en la ciudad pero el volumen total de turistas en la región suele ser menor.

ANÁLISIS ADICIONAL: Modelo basado en Datos Reales

A continuación, se presenta un modelo alternativo basado en datos reales de ocupación hotelera en Puno. Este análisis busca contrastar la movilidad teórica con la pernoctación efectiva registrada históricamente.

Contexto Real: Los datos reales de ocupación hotelera en Puno muestran una estacionalidad marcada:

• Alta: Junio - Agosto.
• Media: Abril - Mayo, Septiembre - Noviembre.
• Baja: Enero - Marzo.

A diferencia del modelo de movilidad pura, en los datos reales se observa que la gran mayoría de turistas pernocta en Puno Ciudad, mientras que las visitas a las islas funcionan mayoritariamente como excursiones (full-day) sin pernoctación masiva.

a) Creación de las matrices de transición reales

Se definen las siguientes matrices donde Puno Ciudad (PC) tiene una alta probabilidad de retención (pernoctación):

Matriz REAL - Temporada Alta \((T_{alta}^{real})\):

$$T_{alta}^{real}=\begin{pmatrix}0.55&0,25&0,12&0,08\\ 0,70&0,15&0,10&0,05\\ 0,75&0,10&0,??&0,05\\ 0,78&0,10&0,??&0,05\end{pmatrix}$$

(Nota: Valores inferidos del texto fuente)

Matriz REAL - Temporada Baja \((T_{baja}^{real})\):

$$T_{baja}^{real}=\begin{pmatrix}0.75&0.18&0.05&0.02\\ 0.85&0.10&0.04&0.01\\ 0.88&0.07&0.03&0.02\\ 0.90&0.06&0.02&0.02\end{pmatrix}$$

Matriz REAL - Temporada Media \((T_{media}^{real})\):

$$T_{media}^{real}=\begin{pmatrix}0.65&0.22&0.08&0.05\\ 0,75&0,15&0.07&0.03\\ 0,80&0,10&0,06&0,04\\ 0,82&0,10&0,05&0,03\end{pmatrix}$$

b) Distribuciones estacionarias (Datos Reales)

Calculando el eigenvector dominante para cada temporada real:

• Temporada Alta: \(\pi_{alta}^{real}=[0,63,0,18,0,11,0,08]\)
• Temporada Baja: \(\pi_{baja}^{real}=[0,79,0,13,0,05,0,03]\)
• Temporada Media: \(\pi_{media}^{real}=[0,70,0,17,0,08,0,05]\)

c) Comparación entre temporadas (Real)

Comparando los porcentajes de ocupación por destino en el escenario real:

Nota: Puno Ciudad es el destino dominante en TODAS las temporadas reales.

d) Simulación de un año completo (Real)

Se simula bajo las mismas condiciones del Ejercicio 3, pero con la duración real de temporadas:

• 4 meses temporada alta.
• 4 meses temporada baja.
• 4 meses temporada media.

Inicio: 1000 turistas distribuidos según el equilibrio real de temporada alta: \(x(0)=[630,180,110,80]\)

Resultado de la simulación: La simulación converge rápidamente hacia una alta concentración en Puno.

e) Evolución anual (Interpretación)

La curva de ocupación de Puno Ciudad se mantiene siempre dominante por encima del 60%. Las islas presentan fluctuaciones leves estacionales, pero no existe una redistribución extrema de los turistas como en el modelo teórico de movilidad. Esto coincide con la realidad de la infraestructura hotelera de la región.

f) Promedio anual de turistas (Modelo Real)

Cuadro (Tabla generada a partir de 32)

Comparación Final y Conclusiones

Comparación: Modelo Ejercicio 3 vs. Modelo Real

Cuadro (Tabla generada a partir de 33)

Interpretación Final

El modelo desarrollado en el Ejercicio 3 representa adecuadamente la movilidad turística (flujo de visitas durante el día), donde los turistas efectivamente se desplazan masivamente a las islas.

Por otro lado, el Modelo basado en Datos Reales representa la pernoctación hotelera.

Ambos son matemáticamente correctos, pero describen fenómenos distintos. La comparación demuestra que, aunque hay mucha movilidad hacia las islas (Ej. 3), la ocupación hotelera y el gasto principal por alojamiento (Modelo Real) están fuertemente concentrados en Puno Ciudad.