Unidad 2 · Actividad 10

Ejercicio 1: Matriz Diagonal

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}$, se solicita determinar sus eigenvalores y eigenvectores.

1.1. Polinomio característico

$$p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(7 - \lambda)$$

1.2. Eigenvalores

Las raíces del polinomio característico son:

$\lambda_1 = 4$
$\lambda_2 = 7$

1.3. Eigenvectores

Para cada eigenvalor, los vectores asociados son:

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ejercicio 2: Matriz Simétrica

Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

2.1. Polinomio característico

$$\det(B - \lambda I) = (1 - \lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3$$

2.2. Eigenvalores

Resolviendo la ecuación cuadrática $\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$:

$\lambda_1 = 3$
$\lambda_2 = -1$

2.3. Eigenvectores

Para $\lambda = 3$ ($-2x + 2y = 0 \Rightarrow y = x$):

$$v^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Para $\lambda = -1$ ($2x + 2y = 0 \Rightarrow y = -x$):

$$v^{(2)} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

Ejercicio 3: Optimización (Hessiana)

Sea la función $f(x_1, x_2) = 2x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 x_2$.

3.1. Cálculo de la matriz Hessiana

$$H = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$

3.2. Eigenvalores de la Hessiana

El polinomio característico es $\lambda^2 - 6\lambda + 4$. Resolviendo:

$$\lambda = 3 \pm \sqrt{5}$$

Ambos valores son positivos.

3.3. Clasificación: Al tener todos los eigenvalores positivos, se concluye que (0,0) es un mínimo local.

Ejercicio 4: Máximo Local

Sea la función $f(x_1, x_2) = -x_1^2 - 2x_2^2$.

4.1. Hessiana

$$H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}$$

4.2. Clasificación

Los eigenvalores son los elementos de la diagonal:

$\lambda_1 = -2$
$\lambda_2 = -4$

Como ambos eigenvalores son negativos, (0,0) es un máximo local.

Ejercicio 5: Verificación de Eigenvector

Dada la matriz $C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ y el vector $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

5.1. Verificación

Calculamos el producto $Cv$:

$$C v = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Igualamos a $\lambda v$:

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\lambda \\ \lambda \end{pmatrix}$$

Comparando componentes, obtenemos $2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$ y $\lambda = 6$. Como no coinciden:

Conclusión: $v = (2, 1)$ no es eigenvector de $C$.

5.2. Eigenvalores reales de C

El polinomio característico es $\lambda^2 - 7\lambda + 10$. Resolviendo $(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$:

$\lambda_1 = 5$
$\lambda_2 = 2$