Actividad 03 · Resolución de Ejercicios

11/09/2025

Completada

Descripción de la Actividad

Resolver los ejercicios planteados en la unidad 1 aplicando conceptos de programación numérica.

Desarrollo de la Actividad

1. Ejercicio 1

Un desarrollador tiene 15 horas semanales para dedicar al desarrollo de software de front-end (x) y back-end (y). Además:

  • Debe dedicar al menos 5 horas al desarrollo de front-end para cumplir con los entregables del cliente.
  • El tiempo total no puede exceder 15 horas por restricciones de tiempo del sprint.
Formule las restricciones, represéntelas gráficamente e identifique las combinaciones posibles de tiempo a invertir en cada actividad.

1.1.1. Restricciones

  1. x ≥ 5 (mínimo 5 horas de front-end).
  2. x + y ≤ 15 (tiempo total máximo).
  3. x ≥ 0, y ≥ 0 (no hay tiempo negativo).

1.1.2. Formulación matemática

{ x ≥ 5 x + y ≤ 15 x ≥ 0 y ≥ 0 }

1.1.3. Representación gráfica

Para graficar, transformamos las restricciones en rectas:

  • x=5 (recta vertical).
  • y=-x+15 (recta con pendiente -1).
  • Ejes coordenados.

(1) La región factible es el área en el primer cuadrante, a la derecha de la recta x=5 y debajo de la recta y=-x+15.

Figura 1: Representación gráfica del Ejercicio 1.

2. Ejercicio 2

Un ingeniero de datos administra dos tipos de servidores en la nube: Servidores A y Servidores B. El costo por hora de Servidor A es S/3 y de Servidor B es S/5. El presupuesto máximo semanal asignado para mantener los servidores es de S/20. Determine cuantas horas puede mantener activos cada tipo de servidor, formule el sistema de ecuaciones y represéntelo gráficamente.

2.1. Planteamiento del problema

Un ingeniero de datos administra dos tipos de servidores en la nube:

  • Servidores A → costo de 3 soles/hora
  • Servidores B → costo de 5 soles/hora
El presupuesto semanal máximo asignado es de 20 soles.

Definimos:

  • x: número de horas activas de servidores A.
  • y: número de horas activas de servidores B.

2.2. Formulación matemática

2.2.1. Restricciones

  1. Restricción de costo: 3x + 5y ≤ 20

2.2.2. No se puede asignar tiempo negativo

x ≥ 0, y ≥ 0

2.3. Transformación para graficar

La restricción principal es:

3x + 5y ≤ 20 ⇒ 5y ≤ 20 - 3x ⇒ y ≤ (20/5) - (3/5)x ⇒ y ≤ -0.6x + 4

La recta límite: y = -0.6x + 4

2.4. Representación gráfica

  • La recta y = -0.6x + 4 divide el plano.
  • La región factible está debajo de la recta, en el primer cuadrante.
  • Es un triángulo con vértices aproximados:
    • (0,0)
    • (20/3, 0) ≈ (6.67, 0)
    • (0, 4)

Figura 2: Representación gráfica del Ejercicio 2.

2.5. Interpretación de la solución gráfica

  • Cualquier punto dentro de la región factible son combinaciones posibles de horas activas de Servidores A y B que cumplen con el presupuesto.
  • Ejemplos de soluciones factibles:
    • x=4, y=1 → costo = 3(4) + 5(1) = 17 ≤ 20.
    • x=2, y=2 → costo = 3(2) + 5(2) = 16 ≤ 20.
  • Puntos fuera de la región implican que el presupuesto semanal se excede.

3. Ejercicio 3

Un administrador de proyectos tecnológicos organiza su tiempo entre reuniones con stakeholders (x) y trabajo en la documentación técnica (y). Las reuniones requieren al menos 4 horas semanales y la documentación al menos 6 horas. Si dispone de 12 horas para ambas actividades, determine la región factible y analice las combinaciones posibles de tiempo.

3.1. Planteamiento del problema

Un administrador organiza su tiempo entre reuniones con stakeholders (x) y trabajo en documentación técnica (y).

  • Las reuniones requieren al menos 4 horas semanales.
  • La documentación requiere al menos 6 horas semanales.
  • Dispone de 12 horas en total para ambas actividades.

3.2. Formulación matemática

(2) { x ≥ 4 y ≥ 6 x + y ≤ 12 x ≥ 0, y ≥ 0 }

(Obs.: las últimas dos son las no-negatividades; con las primeras queda implícito que estamos en primer cuadrante.)

3.3. Transformación para graficar

  • La restricción de suma se transforma en la recta límite: x + y ≤ 12 ⇒ y ≤ -x + 12

Para graficar dibujamos:

  • la recta y = -x + 12
  • la recta vertical x = 4
  • la recta horizontal y = 6

La región factible queda en el primer cuadrante, a la derecha de x=4, arriba de y=6 y debajo de y=-x+12.

3.4. Vértices de la región factible (exactos)

Intersecciones relevantes:

  • x=4 y y=6 → punto (4, 6).
  • x=4 con x + y = 12 → y = 8 → (4, 8).
  • y=6 con x + y = 12 → x = 6 → (6, 6).

Entonces la región factible es el triángulo con vértices (4,6), (4,8), (6, 6).

Figura 3: Representación gráfica del Ejercicio 3.

3.5. Interpretación

  • El administrador debe dedicar como mínimo 4 horas a reuniones y 6 horas a documentación.
  • Sólo tiene un margen pequeño para mover horas entre actividades: por ejemplo:
    • (4,6) usa 10 horas en total (queda 2 horas sin usar).
    • (5,7) usa 12 horas (ajusta ambas y agota el tiempo).
    • (6,6) usa 12 horas (más reuniones, mínima doc).
    • (4,8) usa 12 horas (más documentación, mínima reuniones).
  • Cualquier punto fuera del triángulo viola al menos una restricción (no cumple mínimos o excede 12 horas).

4. Ejercicio 4

Una empresa de desarrollo de videojuegos produce dos tipos de assets: Modelos 3D (P1) y Texturas (P2). Cada modelo 3D requiere 2 horas de trabajo y cada textura requiere 3 horas. El equipo de arte tiene un total de 18 horas disponibles semanalmente. Formule las restricciones, represéntelas gráficamente y determine cuántos assets de cada tipo pueden producirse en función del tiempo disponible.

4.1. Planteamiento

  • x = cantidad de Modelos 3D (P1).
  • y = cantidad de Texturas (P2).
  • Cada modelo 3D requiere 2 horas.
  • Cada textura requiere 3 horas.
  • Horas disponibles por semana: 18 horas.

4.2. Formulación matemática

y no negatividad:

2x + 3y ≤ 18 x ≥ 0, y ≥ 0

(Si la producción exige números enteros, x, y ∈ ℤ≥0; si no, se permite solución continua.)

4.3. Transformación para graficar

Despejando y:

3y ≤ 18 - 2x ⇒ y ≤ (-2/3)x + 6

Recta límite: y = (-2/3)x + 6.

Interceptos (puntos donde corta ejes):

  • Si x=0 → y=6.
  • Si y=0 → 2x=18 ⇒ x=9.

4.4. Región factible (gráfica)

  • Es el área en el primer cuadrante, por debajo de la recta y = (-2/3)x + 6.
  • Vértices del polígono factible: (0,0), (9,0), (0,6). (Si consideramos solo la desigualdad y ejes, la región es el triángulo formado por esos vértices.)

Figura 4: Representación gráfica del Ejercicio 4.

4.5. Interpretación / ejemplos de soluciones

  • Combinaciones válidas (ejemplos):
    • (x,y)=(0,6) → 0 modelos, 6 texturas (3·6=18 horas).
    • (9,0) → 9 modelos, 0 texturas (2·9=18 horas).
    • (3,4) → 3 modelos (6 h) + 4 texturas (12 h) = 18 h.
    • (2,3) → 2·2 + 3·3 = 4 + 9 = 13 horas (factible y sobra tiempo).
  • Si se requieren cantidades enteras, las soluciones factibles son los pares enteros dentro del triángulo (por ejemplo (1,5) → 2·1 + 3·5 = 17 ≤ 18; (4,4) no: 2·4 + 3·4 = 20 > 18).

5. Ejercicio 5

Una startup de hardware dispone de un máximo de 50 unidades de componentes electrónicos. Para ensamblar un dispositivo tipo A se necesitan 5 unidades y para un dispositivo tipo B se necesitan 10 unidades. Determine cuántos dispositivos de cada tipo puede ensamblar sin exceder las 50 unidades de componentes. Formule el problema, resuélvalo gráficamente y explique las posibles combinaciones de producción. *Nota: El planteamiento en el documento parece ser de un problema diferente al enunciado principal del Ejercicio 5. Se presenta el planteamiento del documento.*

5.1. Planteamiento

Una fábrica produce dos productos:

  • x = unidades del producto A.
  • y = unidades del producto B.

Recursos disponibles por semana:

  • Material: 48 unidades.
    • Cada A consume 4 unidades de material.
    • Cada B consume 6 unidades de material.
  • Mano de obra: 12 horas.
    • Cada A consume 1 hora.
    • Cada B consume 2 horas.

Además, no se producen cantidades negativas: x ≥ 0, y ≥ 0

5.2. Formulación matemática

Restricciones:

(3) { 4x + 6y ≤ 48 (material) x + 2y ≤ 12 (mano de obra) x ≥ 0, y ≥ 0 }

5.3. Transformación para graficar

Despejando y para ambas rectas:

  • De 4x + 6y ≤ 48 ⇒ y ≤ (-4/6)x + 8 ⇒ y ≤ (-2/3)x + 8. Recta límite: y = -0.6667x + 8.
  • De x + 2y ≤ 12 ⇒ y ≤ (-1/2)x + 6. Recta límite: y = -0.5x + 6.

5.4. Vértices de la región factible (cálculo)

Intersecciones importantes:

  • Intersección con ejes:
    • Si x=0: de la primera recta y≤8, de la segunda y≤6 → el límite es y≤6. Entonces el vértice en el eje y es (0, 6).
    • Si y=0: de la primera 4x≤48 ⇒ x≤12, de la segunda x≤12 → vértice en eje x es (12, 0).
  • Intersección entre las dos rectas:
    • Resolver 4x + 6y = 48 y x + 2y = 12.
    • De la segunda x = 12 - 2y. Sustituyendo: 4(12 - 2y) + 6y = 48 ⇒ 48 - 8y + 6y = 48 ⇒ -2y = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 12.

Esa intersección es (12, 0) (ya coincide con el punto en el eje x).

Por tanto, la región factible acotada es el triángulo con vértices: (0,0), (12, 0), (0,6).

Figura 5: Representación gráfica del Ejercicio 5.

5.5. Interpretación

  • La región factible contiene todas las combinaciones de producción (x, y) que no superan ni el material ni la mano de obra disponibles.
  • Ejemplos de soluciones factibles:
    • (0,6): usa 0 A y 6 B → material=6·6=36≤48, mano de obra =2·6=12.
    • (12,0): usa 12 A y 0 B → material=4·12=48, mano de obra =1·12=12.
    • (6,3): material = 4·6 + 6·3 = 24 + 18 = 42 < 48; mano de obra = 6 + 2·3 = 12 (en la frontera).
  • Si se requieren cantidades enteras, las soluciones válidas son los pares enteros dentro del triángulo (por ejemplo (5,2), (8, 1), etc.).
  • Cualquier punto fuera del triángulo viola al menos una restricción (falta material o mano de obra).

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